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关于九年级数学教材调整解读(2011版)二 :一元二次方程  

2014-08-16 09:55:04|  分类: 资料汇编 |  标签: |举报 |字号 订阅

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                                                                           第二十一章  一元二次方程


 
21.1  一元二次方程              1课时
21.2  解一元二次方程    7课时
21.3  实际问题与一元二次方程    3课时
数学活动
小结                             2课时
有关概念,配方法,公式法,因式分解法,
根与系数的关系(选),实际问题与一元二次方程 
 
                                                               课标的变化
 


原课标

新课标

    无

能用一元二次方程根的判别式判断方程是否有实根和两个实根是否相等



*了解一元二次方程根与系数的关系

 
                                                          (一)内容安排

 
两条主线 :   模型思想         化归思想:降次
两条主线索(模型、解法(化归——降次))
?从深化数学模型思想、加强应用意识的角度看,从实际问题中抽象出数量关系,列出一元二次方程,求出它的根进而解决实际问题,是本章学习的一条主线。
二元、三元一次方程组可看成是对一元一次方程在“元”上的推广,一元二次方程是在次数上的推广。类比二(三)元一次方程组的解法,研究将“二次”降为“一次”的方法,是本章学习的另一条主线。
教科书着重介绍配方法、公式法和因式分解法等一元二次方程的解法,而且限定在解数字系数的一元二次方程。

  
降次是解一元二次方程的基本策略,即通过配方、因式分解等,将一元二次方程转化为两个一元一次方程来解。根据平方根的意义,可得方程x2=p和(x+n)2=p的解法;通过配方,可将一元二次方程转化为(x+n)2=p的形式再解;一元二次方程的求根公式,是对方程ax2+bx+c=0配方后得出的.如能将ax2+bx+c分解为两个一次因式之积,则可令每个因式为0来解. 
 
三种解法的地位:
     配方法是推导一元二次方程求根公式的工具.掌握了公式法,就可以直接用公式求一元二次方程的根.因式分解法是解某些方程的简便方法。
    配方法是一种重要的、应用广泛的数学方法.
    在推导求根公式的过程,体现了从特殊到一般的思想;求解方程的过程是将推广所得的方程转化为已经会解的方程,体现了化归思想。这个过程对培养推理能力、运算能力等都很有作用。
    公式法(通法)、因式分解法(特殊方法)

 
《课程标准(2011年版)》重新强调了一元二次方程根的判别式和韦达定理的重要性,要求能“用判别式判别方程是否有实根和两个实根是否相等”,“了解一元二次方程的根与系数的关系”,这是需要注意的一个变化

 
除在一元二次方程的概念、表示和解法研究中注重从实际问题出发外,第三节安排三个“探究”,让学生建立一元二次方程模型解决实际问题,再一次经历如下过程:

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(二)编写时考虑的几个问题 
 
1.注重联系实际,体现建模思想,发展应用意识
利用人体雕像这一典型的黄金分割问题,建立一元二次方程模型,引出本章内容;
通过制作无盖方盒问题和邀请参赛球队的个数问题,抽象出一元二次方程的概念及其数学符号表示;


 
安排“实际问题与一元二次方程”,使学生完整地经历“问题情境——建立模型——求解验证”的数学活动过程。
目的:使学生认识到学习一元二次方程是解决实际问题的需要;体验运用数学知识解决实际问题的基本过程,积累数学活动经验,从而培养模型思想,逐步形成应用意识。

 
2.重视联系性、逻辑性,突出基本策略
 
?采用从特殊到一般、从具体到抽象的方法,从方程x2=p出发,经不断推广而得到一般的ax2+bx+c=0;利用“配方法”,把“新方程”化归为已解决的形式而得解:
?根据平方根的意义,通过直接开平方而得到方程x2=25的解,再推广到求方程x2=p的解,引导学生对p>0,p=0和p<0三种情况进行详细讨论; 
 
然后,分析变式(x+3)2=5的解决过程,归纳出“把一个一元二次方程‘降次’,转化为两个一元一次方程”的思路,再给出(x+3)2=5的等价形式x2+6x+4=0,并用框图表示将x2+6x+4=0转化为(x+3)2=5的过程,最后归纳出“配方法”,并讨论通过配方将方程转化为(x+n)2=m的形式后的解,让学生再次经历分类讨论过程。 
 
再通过“探究:任何一个一元二次方程都可以写成一般形式ax2+bx+c=0(a≠0),能否也用配方法得出它的解呢?”让学生借助用配方法解一元二次方程的已有经验,自主推导出求根公式。
上述过程,让学生反复经历了“具体——抽象”、“配方——分类讨论”的过程,不仅获得了求根公式,而且有利于突破两个难点:针对一般形式的一元二次方程的配方,分类讨论。
 
通过具体方程10x-4.9x2=0,得出针对某些方程的简便解法——因式分解法。
最后进行根与系数关系的研究。 
 
3.注重“四能”培养
 
因为学生已经具备研究一元二次方程的概念、解法的知识基础,只要他们能把这些知识调动起来、应用到研究中去,他们就能独立地发现解法,所以教科书注重通过栏目和“边空设问”等方式启发学生的思维,为他们提供独立探究的机会。
 
(三)对教学的几个建议
 
1.为学生构建研究一元二次方程解法的连贯过程,可以按如下线索安排(加强思路的点拨)
?实际背景引入→从已有经验中总结解方程的一般思想方法(化归为一元一次方程)→类比二元一次方程组的“消元”,得到解一元二次方程的思路“降次”→从简单、特殊的一元二次方程(如x2=25,x2=p;(x+3)2=5,x2+6x+4=0,(x+n)2=p等)探索“降次”的方法(直接开平方、配方法)→用配方法推导求根公式(公式法)→针对特殊一元二方程的特殊解法(因式分解法)。
 
要让学生经历研究一元二次方程解法的完整过程,避免不同解法之间的割裂。方程x2=p的解具有奠基作用,特别是对p的分类讨论,蕴含了对判别式的分类讨论,所以一定要认真处理好;推广的方程(x+3)2=5与x2+6x+4=0是获得配方法的载体;配方法是公式法的基础;公式法是直接利用公式求根,省略了配方过程;因式分解法是解特殊形式的一元二次方程的简便方法。
获得一元二次方程解法的教学中,应加强类比、从特殊到一般等思想方法的引导。 
 
2.注重模型思想、应用意识的培养
 
让学生经历建立和求解一元二次方程模型的完整过程,把模型思想、应用意识的培养落在实处。
用数学解决实际问题的难点在于数量关系的分析和数学模型的选择。教学中应注意引导学生仔细分析题意,借助适当的直观工具,如画图、列表等,找出问题中的已知量、未知量,找到关键词并由此确定等量关系,进而建立一元二次方程。要注意培养学生良好的解题习惯,包括借助直观方法分析题意、检验所得方程及其根的实际意义,找出合乎实际的结果等。 
 
3.注意控制教学要求
 
学习韦达定理的目的在于使学生更深入地体会根与系数的确定关系,更全面地认识一元二次方程。
针对判别式、韦达定理等的形式化训练,对锻炼学生的思维有一定好处,但复杂的代数变形对提高学生的数学能力(特别是数学建模能力)没有多大帮助。因此,要注意把握好这些教学要求,控制好形式化训练的难度,特别是不要搞用韦达定理解决其他问题的训练。
(待续)

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